Burhan Felek, 11 Mayıs 1889'da evkaf memuru Mahmut Ziya ile Fatma Naciye'nin çocuğu olarak Üsküdar'da dünyaya geldi.
Felek, ilk öğrenimine, Ravza-i Terakki adlı özel bir okulda başladı. Mezun olduktan sonra aynı yıl, Üsküdar Mülkiye İdadisine giren ve doğrudan ikinci sınıfa başlamaya hak kazanan Burhan Felek, bu okuldan birincilikle mezun oldu. Liseyi de ikincilikle bitiren Felek, 1907'de İstanbul Hukuk Fakültesine girdi. Fakültesinde, Talebe-i Hukuk Cemiyetinin kuruluş çalışmalarına katılan Felek, bir süre derneğin genel sekreterlik görevini yürüttü.
Gazeteciliğe "amatör" olarak 1909 yılında İdman dergisinde başlayan, 1910'da Donanma dergisinde profesyonelliğe adım atan Felek, 1918 yılında Tasvir-i Efkar gazetesinde spor muhabiri ve foto muhabiri olarak çalışmaya başladı. Felek, mesleğine, Tetebbu, Tasvir-i Efkar, Tevhid-i Efkar, Vakit, Vatan, Yeni Ses, Milliyet, Tan, Cumhuriyet ve tekrar Milliyet gazetesinde vefatına kadar devam etti.
Burhan Felek, foto muhabiri ve spor yazarı olarak başladığı mesleğini, 72 yıl aralıksız sürdürdü. Dünyada hiç ara vermeksizin en uzun süre her gün köşe yazan gazeteci olarak Uluslararası Basın Enstitüsü kanıtıyla en kıdemli yazar anlamında "Şeyhül Muharririn" ünvanını alan Burhan Felek, Türkiye Gazeteciler Cemiyetinde ilk olarak Sedat Simavi'nin başkanlığı bırakmasının ardından 1949 yılında başkanlığa getirildi. 1952 yılına kadar bu görevi sürdüren Felek, 1959'da yeniden seçildi ve görevi ölene değin sürdürdü. Felek, Türkiye Gazeteciler Cemiyetinde toplamda 26 yıl başkanlık yaptı.
Felek, Hindistan seyahatlerini içeren "Hint Masalları", "Yaşadığımız Günler", "Felek 1", "Felek 2", "Vatandaş Ahmet Efendi", "Nasreddin Hoca", "Geçmiş Zaman Olur ki" gibi kitaplarının yanı sıra "Edi ile Büdü", "Melek Hanımın Kıskançlığı" film senaryolarını da kaleme aldı.
TMOK'ta 21 yıl başkanlık yaptı
Burhan Felek, Türk sporunda uzun yıllar yöneticilik görevinde de bulundu.
Balkan ve Akdeniz Oyunları kurucularından olan Felek, 1924 ve 1928 Olimpiyat Oyunları'nda yöneticilik görevini yerine getirdi.
Türkiye Milli Olimpiyat Komitesinin kurucuları arasında yer alan Felek, 1938-1952 yıllarında TMOK Genel Sekreterliği, 1960-1964 ve 1965-1982 arası da 21 yıl süreyle TMOK Başkanlığı yaptı.
Felek, 1922'de Ali Sami Yen ve Yusuf Ziya Öniş ile Türkiye İdman Cemiyetleri İttifakının kuruluşunu gerçekleştirdi. Atletizm Federasyonu Başkanlığına seçilen Felek, 1936'ya kadar bu görevi sürdürdü. Spor dünyasına sağladığı hizmetler dolayısıyla Felek'e Uluslararası Olimpiyat Komitesi tarafından "Olimpik Merit Nişanı" takdim edildi.
Sporun gelişmesine makaleleriyle katkı sağlayan Felek, futbol ve güreş karşılaşmalarında hakemlik de yaptı.
8 Mayıs 1980'de İstanbul Üniversitesi Senatosunun, "fahri doktorluk" unvanı verdiği Felek, 4 Kasım 1982'de İstanbul'da vefat etti. Fransa hükümeti ölümünden sonra Felek'e, "Legion d'honneur" nişanını layık gördü.
Üsküdar'da bulunan spor tesislerine Burhan Felek'in ismi verildi.